数学ガールへの解答

y=(-1)^x のグラフを描け。

http://d.hatena.ne.jp/a-san/20101004#p1
高校生の最後の春休みの私

x=2,4,6,8,...のときはy=1だよな。x=0や負の偶数のときも。
で、奇数 x=-3,-1,1,3,5,7.. のときは、y=-1だよな。
飛び飛びなのかな？

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じゃあ、その間は？ x=1/2のときは？
y = √-1 = i だ！ 虚数？！　グラフに描けないー！！！
で、x = -1/2 のときは、y = -i 。これも虚数。

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x=1/4のときは？
y = (-1)^(1/4)
変形して、 y^4 = -1だから・・・（中略）・・・y = 1/√2 + i /√2
ノートに描けないので、頭の中のグラフに書く。「この辺か？」
x=-1/4 や、x=3/4では？
頭の中のグラフにプロットしていく。

あれ？ノートの裏から表へとぐるぐる渦になっているのかな？「らせん」みたいに？？？
うん、多分合ってる！

大学生の私

オイラーの定理すごい！！！
指数関数のeと虚数のiと円周率のπにこんな関係があるなんて。
数学でも全然違う分野と思っていたのに、お互いにこんな関係があるの？
しかもシンプルで美しい！
まてよ、アレに似ているなぁー。（この問題）
y=(-1)^x に、 オイラー式の e^(i*π) = -1 を代入する。
　y=(-1)^x = (e^(i*π))^x = e^(i*π*x)
　θ=π*xとおくと、
　y=e^(i*π*x) = e^(i*θ)
おぉ、オイラーの式だ！

元の式って、　y=(-1)^x にはπも虚数のiも、ネピアのeもなく、
中学生でも問題の意味が分かるほど簡単なモノなのに、
それに答えられるにはオイラーの式が必要。
オイラーの定理と同じモノを表していたのかー。
・・・深い。

答え

y=(-1)^x のグラフを描け。

y=(-1)^x = e^(i*π)^x = cos(π*x) + i * sin(π*x)